Arne Zeller hatévesen kezdett csellózni, 14 éves korában középiskolai tanulmányai mellett felvételt nyert Peter Bruns professzor előkészítő osztályába a lipcsei Felix Mendelssohn Bartholdy Zeneművészeti Főiskolán. 2024 októbere óta Frans Helmerson növendéke a Kronberg Akadémián.
Számos díj és kitüntetés birtokosa: 2020‑ban a grazi International Anna Kull csellóversenyen korosztálya legfiatalabb résztvevőjeként első díjat nyert; 2023‑ban a 29. Nemzetközi Brahms‑versenyen (Pörtschach) második díjat, 2024‑ben pedig az El Vendrell‑i 40. Pablo Casals Award első helyezettje volt. Emellett a német Jugend Musiziert országos versenyen is számos első- és különdíjat szerzett. 
Szólistaként 13 évesen debütált Csajkovszkij Rokokó variációival; később fellépett többek között a Baden‑Baden Filharmonikusokkal, az Euro Symphony Orchestra, a mainzi Egyetemi Zenekar és a Kremerata Baltica együttessel. 2024‑ben a Frankfurti Rádió Szimfonikus Zenekarával többször közreműködött különböző iskolai projektekben. 
Kamarazenei tapasztalatait olyan nemzetközi kurzusokon és fesztiválokon gyarapította, mint a Verbier Festival Academy, a kronbergi Chamber Music Connects the World, a Geneva String Academy, a Moritzburg Festival és a lipcsei Con Spirito Festival.
Pályafutása során olyan művészekkel lépett fel, mint Gidon Kremer, Lawrence Power, Valentin Erben, Jens‑Peter Maintz, Peter Bruns, Jan Vogler és Torleif Thedéen. 
2021 és 2024 között tagja volt a nemzetközileg elismert LGT Young Soloists vonósegyüttesnek, mellyel szólistaként és kamarapartnerként egyaránt nagy nemzetközi rutinra tett szert.
2022‑ben és 2024‑ben aktív résztvevője volt a Kronberg Akadémia cselló‑mesterkurzusainak, Frans Helmerson és Jens‑Peter Maintz vezetésével. További művészi inspirációt jelentettek számára Ivan Monighetti, Hans Jørgen Jensen, Pablo Ferrández, Gary Hoffman, Steven Isserlis és Sir András Schiff mesterkurzusai.
Arne Zeller a Deutsche Stiftung Musikleben, a Liechtensteini Nemzetközi Zeneakadémia és a Studienstiftung des Deutschen Volkes alapítványok ösztöndíjasa.
Fontosabb elismerései között szerepel a Lichtenberger Musikpreis 2022, a Werner Stiefel‑díj 2022, a Martin Stadtfeld‑díj és a Jütting‑ösztöndíj 2023, valamint a Kronberg Akadémia 2024‑es cselló‑mesterkurzusain elnyert Pergamenschikow‑ösztöndíj.
Arne egy Charles Adolphe Maucotel által készített ex‑Tortelier csellón (Párizs, 1850) játszik, amelyet a Stretton Society egyik nagyllelkű tagja bocsát rendelkezésére.